Pim a écrit:
Je vais regarder pour la fenêtre de lancement, si j'arrive à faire un joli dessin me permettant de déduire la formule,
c'est une bonne idée.
A ce propos, comme j'avais émis la suggestion, je viens de rédiger une méthode de calcul
de l'heure de lancement.
Comme je ne suis pas bon en dessin, et encore moins pour raisonner géométriquement
sur des figures, j'ai utilisé la méthode algébrique (changement de repère
entre le repère lié au plan orbital et le repère géocentrique).
Je te propose donc de jeter un oeil sur le doc LaTeX ci-joint, et s'il te convient de l'intégrer
tel quel ou avec toutes les modifs que tu voudras (sur le fond comme sur la forme)
dans ton document ...
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{a4}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
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\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\title{\framebox{\begin{tabular}{c}Calcul de l'heure de tir d'un astronef\\en vue de l'injection sur une orbite
prédéterminée\end{tabular}}}
\author{\emph{syntex}, pour le forum francophone Orbiter}
\date{21 Août 2005}
\maketitle
\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
On considère une orbite circulaire, définie par
son inclinaison $i$ et l'ascension droite de son noeud ascendant $\Omega$.
L'orbite étant circulaire, on fait correspondre par convention
le périastre avec le noeud ascendant, qui devient donc l'origine
des angles dans le plan orbital.
Ainsi, étant donné un point d'anomalie vraie $u$ sur l'orbite,
les coordonnées de ce point dans le repère géocentrique inertiel (repère \emph{ECI})
s'écrivent :
$$
\mathbf{r}(u) = \left( \begin{array}{c} \cos \Omega \, \cos u - \sin \Omega \, \cos i \, \sin u\\\sin \Omega \, \cos u + \cos
\Omega \, \cos i \, \sin u\\\sin i \, \sin u\end{array} \right)
$$
Les distances sont toutes normalisées, le calcul ne faisant intervenir
que des angles.
\medskip
Il s'agit maintenant de déterminer les points d'intersection de l'orbite
avec le plan parallèle à l'équateur et passant par le lieu de lancement
défini par ses coordonnées géographiques $\lambda$ (latitude) et $l$ (longitude).
Dans le repère \emph{ECI} chaque point d'intersection a pour coordonnées sphériques :
\begin{itemize}
\item $\theta$, l'ascension droite ;
\item $\lambda$, la déclinaison, égale à la latitude géographique,
le repère \emph{ECI} étant équatorial.
\end{itemize}
Le point d'intersection doit donc vérifier les équations suivantes en coordonnées
cartésiennes :
\begin{equation}
\mathbf{r}(u) = \left(\begin{array}{c}\cos \theta \, \cos \lambda\\\sin \theta \, \cos \lambda\\\sin \lambda\end{array}\right)
\label{eq1}
\end{equation}
La troisième équation de (\ref{eq1}) s'ecrit donc :
$$
\sin i \, \sin u = \sin \lambda
$$
Cette équation admet deux solutions $u_1$ et $u_2$, qui sont reliées
entre elles de la manière suivante :
$$
\sin u_1 = \sin u_2 = \frac{\sin \lambda}{\sin i} \hspace{20mm} \cos u_1 = - \cos u_2 = \sqrt{1 - \frac{\sin^2
\lambda}{\sin^2 i}}
$$
Connaissant $\cos u_i$ et $\sin u_i$, il est possible de calculer l'ascension droite
$\theta_i$ des points d'intersection à l'aide des deux première équations de
(\ref{eq1}) :
$$
\tan \theta_i = \frac{\mathbf{r}_2(u_i)}{\mathbf{r}_1(u_i)} = \frac{\pm \sin \Omega \, \sqrt{\sin^2 i - \sin^2 \lambda} +
\cos \Omega \, \cos i \, \sin \lambda}{\pm \cos \Omega \, \sqrt{\sin^2 i - \sin^2 \lambda} - \sin \Omega \, \cos i \, \sin
\lambda}
$$
\medskip
Les points d'intersection de l'orbite avec le parallèle au lieu de lancement
étant connus, la date de lancement permettant d'injecter l'astronef directement
sur l'orbite désirée est obtenue lorsque le temps sidéral du lieu de lancement
est égal à l'ascension droite $\theta_i$ d'un des deux points d'intersection.
On va définir la date de tir sous la forme
$$
\mbox{MJD} = \mbox{MJD0} + t
$$
avec
$\mbox{MJD}$ la date Julienne modifiée du lancement,
$\mbox{MJD0}$ la date Julienne modifiée à 0h du jour de lancement,
et $t$ l'heure de lancement, exprimée en fraction de jour.
\medskip
Les éphémérides donnent pour définition du temps sidéral local
d'un lieu de longitude $l$ :
\begin{eqnarray}
h(t) &=& l + 280.46061837 + 360.98564736629 \, ( \mbox{MJD} - 51544.5 )\nonumber\\
&=& l + 100.46061837 + 0.98564736629 \, ( \mbox{MJD0} - 51544.5 ) + 360.98564736629 \, t\label{eq2}
\end{eqnarray}
$h$ étant exprimé en degrés.
En écrivant l'égalité $ h(t_i) = \theta_i $, on peut en déduire à l'aide
de l'équation (\ref{eq2}) les deux heures de lancement possibles $t_1$ et $t_2$
pour rejoindre l'orbite dans la journée.
\end{document}
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